פתרון תרגילים 4-5 מבחן מפמ"ר כיתה ז' 2010

קישור מקוצר לתרגיל: http://wp.me/p4rxcn-dx

מתוך מבחן מפמ"ר במתמטיקה – כיתות ז'

תרגילים 4-5

פתרון תרגיל 4 – סדר פעולות חשבון
ע"פ סדר פעולות חשבון תחילה מחשבים את הביטוי שבסוגריים (הפנימיות, במידה ויש סוגריים בתוך סוגריים) לאחר מכן פעולות חזקות, לאחר מכן פעולות כפל וחילוק ולאחר מכן פעולות חיבור חיסור.

מפתח

פתרון שאלה 5

ניתן לפתור את התרגיל בשני אופנים.
אופן 1 – הצבת כל אחד מהתשובות במשוואה ובדיקה האם מתקבל פסוק אמת או שקר.
נבדוק ע"י הצבת תשובה 3 – הצבת x=1.

מפתח

פתרון הוא x=1 ולכן התשובה הנכונה היא תשובה מספר 3.

מודעות פרסומת

חשבון כיתה ו' – תרגילים פתורים מספר 22-23 משאלון במתמטיקה תשס"ו של משרד החינוך

קישור מקוצר לתרגיל: http://wp.me/p4rxcn-dr

מתוך שאלון במתמטיקה, כיתה ו', תשס"ו

שאלות 22-23

פתרון שאלה 22
למציאת הנעלם מחסרים משני אגפי המשוואה את המספר 2.25 ומפשטים:

מפתח

פתרון שאלה 23

מפתח

חשבון כיתה ו' – תרגילים פתורים מספר 24-25 משאלון במתמטיקה תשס"ו של משרד החינוך

קישור מקוצר לתרגיל: http://wp.me/p4rxcn-dk

מתוך שאלון במתמטיקה, כיתה ו', תשס"ו

שאלות 24-25

פתרון שאלה 24

הכפלת שבר בהופכי לו תיתן תוצאה 1 לכן:

מפתח

המספר החסר הוא 3/2

 פתרון שאלה 25

מפתחים את האגף השמאלי ומקבלים ביטוי דומה לאגף ימין. מתאימים מספר לנעלם באגף ימין כך שיהיה זהה לאגף שמאל.

מפתח

אם נציב נעלם שווה 3/4 נקבל ביטויים זהים באגפים שמאל וימין לכן הנעלם שווה 3/4.

משפט חפיפה שלישי: אם שלוש הצלעות במשולש אחד שוות בהתאמה לשלוש הצלעות

משפט חפיפה שלישי: אם שלוש הצלעות במשולש אחד שוות בהתאמה לשלוש הצלעות במשולש שני, אז המשולשים חופפים.

מ1

משולשים

משפט חפיפה שלישי

משפט חפיפה רביעי: שני משולשים השווים בשתיים מצלעותיהם ובזווית שמול הצלע הגדולה מביניהן – חופפים (צצ"ז)

משפט חפיפה רביעי: שני משולשים, השווים בשתיים מצלעותיהם ובזווית שמול הצלע הגדולה מביניהן – חופפים. (צצ"ז)

משפט חפיפה רביעי

נתון:

AB=DE , BC=EF

AB<BC , AC<BC

EF>ED , EF>DF

 צריך להוכיח:

מפתח
הוכחה:

הוכחת משפט חפיפה רביעי

משפט: אם במשולש זווית אחת יותר גדולה מזווית שנייה אז הצלע שמול הזווית הגדולה יותר גדולה מהצלע שמול הזווית הקטנה

משפט: אם במשולש זווית אחת יותר גדולה מזווית שנייה, אז הצלע שמול הזווית הגדולה יותר גדולה מהצלע שמול הזווית הקטנה

הוכחה:

ה1

משפט הטנגנסים – בעיה פתורה

משפט הטנגנסים מציג יחס בין אורך צלעות המשולש לבין טנגנס הזוויות שבו.

עבור משולש ששתיים מצלעותיו הן \ a, b והזוויות שמולן הן \ \alpha, \beta בהתאמה, משפט הטנגנסים קובע כי מתקיים בו היחס הבא:

 \frac{a-b}{a+b} = \frac{\tan[\frac{1}{2}(\alpha-\beta)]}{\tan[\frac{1}{2}(\alpha+\beta)]} .

משולש
תרגיל

נתון משולש שצלעותיו הן 40 ס"מ ו20 ס"מ והזווית ביניהן היא יש להתיר את המשולש

פתרון:
לפי משפט הטנגנסים

LaTeX: a+b=40+20=60
LaTeX: a-b=40-20=20
LaTeX: \alpha + \beta = 180- \gamma =180-80.5=99.5
LaTeX: \frac{\alpha + \beta }{2}=49.75^ \circ

אם נחשב את LaTeX: \frac{\alpha - \beta }{2} נוכל לחשב את שתי הזוויות ע"י פתרון מערכת שתי משוואות בשני נעלמים באלפא ובביתא

LaTeX: \frac{a + b}{a - b}=\frac{40 + 20}{40 - 20}=3=\frac{tg(\frac{\alpha+\beta}{2})}{tg(\frac{\alpha-\beta}{2})}=\frac{tg49.75^ \circ}{tg(\frac{\alpha-\beta}{2})}
LaTeX: 3=\frac{1.1812}{tg(\frac{\alpha-\beta}{2})})
LaTeX: tg\frac{\alpha-\beta}{2}=0.3937
LaTeX: \frac{\alpha-\beta}{2}=21.5^\circ
קיבלנו מערכת משוואות בשני נעלמים: LaTeX: \frac{\alpha+\beta}{2}=49.75^\circ
LaTeX: \frac{\alpha-\beta}{2}=21.5^\circ
LaTeX: \alpha=71.25^\circ
LaTeX: \beta=28.25^\circ

וכפי שנתון: LaTeX: \gamma=80.5^\circ

מה שנשאר זה לחשב את הצלע השלישית לפי משפט הסינוסים
LaTeX: \frac{c}{sin80.5^\circ}=\frac{a}{sin \alpha}=\frac{40}{sin 71.25}

LaTeX: c=41.66

אלקטרוסטטיקה – חוק קולון

אלקטרוסטטיקה – חוק קולון

חוק קולון: הכוח F הפועל בין שני מטענים חשמליים q1, q2 הנמצאים במרחק r הוא:

כאשר k קבוע שווה:

בין שני מטענים שוני סימן פועל כוח משיכה
בין שני מטענים שווי סימן פועל כוח דחיה

מטען שלילי

הוכחת משפט בגיאומטריה: עבור שני ישרים נחתכים, סכום כל שתי זוויות סמוכות הוא 180º

הוכחת משפט בגיאומטריה: עבור שני ישרים נחתכים, סכום כל שתי זוויות סמוכות הוא 180º

נוכיח את המשפט: עבור שני ישרים נחתכים סכום כל שתי זוויות סמוכות (צמודות) הוא 180º.

נתונים: שני ישרים AB ו- CD נחתכים בנקודה O

צריך להוכיח: סכום זויות צמודות הוא 180 מעלות.

שני ישרים נחתכים

הוכחה:

נתבונן בזויות הצמודות 1 ו-2 ( זויות AOC ו- BOC), ונוכיח שסכומן 180 מעלות

טענה - נימוק

באופן דומה ניתן להוכיח את נכונות המשפט גם עבור זוג הזוויות הנגדיות השני ‹AOD = ‹BOC

תרגיל פתור – מבחן בגרות מתמטיקה 3 יחידות חורף תשע"א – בעייה כללית

שאלה

פתרון

א. מר כהן החנה מכוניתו מ- 8:00 עד 12:00 כלומר 4 שעות.
ע"פ גרף התשלום לחניון II עבור  שעות חניה הוא 10 שקלים, לכן מר כהן שילם 10 שקלים.

ב. נבדוק כמה עולה חניה ל- 7 שעות בכל אחד מהחניונים.
עבור חניון I מחיר החניה ליום שלם הוא 14 שקל וכך גם ל- 7 שעות חניה.
 עבור 7 שעות חניה בחניון II ישלם מר כהן ע"פ הגרף 16 שקלים.
לכן מר כהן בחר בחניון I שבו התשלום נמוך יותר.

 ג. אם בכיסו של מר כהן 10 שקלים, לא יוכל לחנות בחניון I שבו התשלום 14 שקלים. בחניון II ע"פ הגרף יוכל לחנות עד 5 שעות לכל היותר.

ד. מספר השעות המירבי שבו יוכל מר כהן לחנות בחניון II אך עדיין נמוך מחניון I הוא 5 שעות שעבורם ישלם 10 שקלים.

תרגיל פתור – מבחן בגרות מתמטיקה 3 יחידות חורף תשע"א – בעיית אחוזים

שאלה מספר 2

פתרון

א.  לפני ההעלאה: נסמן ב- x את המשכורת של דניאל. המשכורת של גל גדולה ב- 3000 שקלים לכן משכורתו x + 3000.

המשכורות של גל עלתה ב- 15% ובשקלים:
באופן דומה ההעלאה במשכורת הועלתה ב- 25% או בשקלים:

ב. התוספת בשקלים לגל ולדניאל שוות לכן:

נפתח ונפתור:

x היא המשכורת של דניאל לפני ההעלאה ושווה ל- 4500 שקלים

תרגיל פתור – מבחן בגרות מתמטיקה 3 יחידות חורף תשע"א – חיתוך פרבולה עם הצירים

שאלה מספר 1

א. נתונה הפונקציה

למציאת נקודות חיתוך עם ציר x נציב  y =0

 
תשובה:
נקודות החיתוך של הפונקציה y עם ציר x הן:

 

ב. למציאת חיתוך הפרבולה עם ציר y (נקודה C) נציב במשוואה:
 x = 0 ונקבל: y = -5
לכן שיעור חיתוך הפונקציה עם ציר y (נקודה C) הוא:

ג. מאחר ונקודה C על ציר y , מרחקה מראשית הצירים הוא הערך המוחלט של שיעור ה-y שלה, כלומר 5.

ד. המרחק בין נקודות A , B הנמצאות על ציר x : הוא הערך המוחלט של הפרש שיעורי ה- x  שלהן כלומר:
|5-1| = 4

תשובה : המרחק בין נקודות A , B הוא 4.

ה. באופן דומה ניתן לחשב את המרחק בין נקודה A ששיעורה
|1-0| = 1

תשובה: המרחק של נקודה A מראשית הצירים הוא 1

4 בעיות פתורות בגיאומטריה

בעיה מספר 1
פתרון בעיה בגיאומטריה - מעגל חסום במשולש ישר זוית
לפתרון הקלק כאן

בעיה מספר 2
 בעיה פתורה בגיאומטריה - מעוין חסום בטרפז
לפתרון הקלק כאן 

בעיה מספר 3
 
לפתרון הקלק כאן 

בעיה מספר 4
 
לפתרון הקלק כאן

תרגיל פתור בגיאומטריה – משיק מנקודה מחוץ למעגל והוכחת מרובע חסום

פתור את בעיית ההוכחה

 פתרון

פתרון בעיה בגיאומטריה – מעגל חסום במשולש ישר זוית

נתונה הבעיה

פתרון בעיה בגיאומטריה - מעגל חסום במשולש ישר זוית

פתרון

פתרון בעיה בגיאומטריה - מעגל חסום במשולש ישר זוית

תרגילים פתורים באחוזים לחטיבת הביניים

תרגיל 1
בכתה 40 תלמידים. 95% מתלמידי הכתה הגיעו בזמן לביה"ס.
מצאו כמה תלמידים הגיעו בזמן וכמה אחרו.

פתרון תרגיל 1
95% מהתלמידים הגיעו בזמן: 95% * 40 = 95/100 * 40 = 38.
38 תלמידים הגיעו בזמן. מספר התלמידים שאחרו: 38 – 40 = 2
2 תלמידים אחרו.

תרגיל 2
דני קנה ממתק ב- 30% מכספו ורונן קנה ממתק ב- 75% מכספו. האם ניתן להסיק מכך שדני שילם פחות מרונן? נמ את תשובתכם (תוכלו להעזר בדוגמאות).

פתרון תרגיל 2
לא ניתן להסיק שדני שילם פחות מרונן.
לדוגמא: נניח כי לדני היה 100 שקל ולרונן 20 שקל.
אז דני שילם על הממתק 30% מכספו כלומר שילם 30% * 100 = 30 שקל
ואילו רונן שילם 70% * 20 = 14 שקל.
ולכן רונן שילם פחות מדני בשקלים למרות ששילם 70% מכספו לעומת דני ששילם 30% אחוז מכספו.

תרגיל 3
משקל קופסת גבינה הוא 250 גרם. על הקופסא מצוין שאחוז השומן הוא 5%. אבי טען שיש בקופסא 5 גרם שומן ולירן טען שיש 12.5 גרם שומן. מי צודק? נמקו את תשובתכם.

פתרון תרגיל 3
שיעור השומן ב- 250 גרם הגבינה הוא 5% , לכן כמות השומן:
5% * 250 = 5/100 * 250 = 12.5 גרם
לפיכך לירן צודק.

תרגילים נוספים לתרגול

4) משכורתו של עידן היא 7000 ₪ . לאור העברתו לתפקיד גבוה יותר, הוא קיבל תוספת של 10% למשכורתו.
מה תהיה משכורתו החדשה של עידן? תשובה: 7700

5) אורך צלע ריבוע הוא 5 ס"מ. נבנה ריבוע חדש ע"י כך שנגדיל כל צלע ב- 20%.
א. באיזה אחוז גדל היקף הרבוע החדש יחסית לריבוע המקורי? – תשובה: 20%
ב. האם שטח הריבוע החדש גדל ב- 20% יחסית לשטח הריבוע המקורי? הסבירו.- תשובה: שטח הריבוע יגדל ב- 4.04%

6) בספריה ספרים באנגלית ובעברית. מס' הספרים באנגלית הוא 150 והם מהווים 30% מהספרים בספריה.
כמה ספרים בספריה?
תשובה: 500

פירוק טרינום לגורמים – דוגמאות פתורות

דוגמא 1

פרק את הטרינום לגורמים

פתרון

נחפש 2 גורמים שסכומם הגורם האמצעי בביטוי לעיל 5x ומכפלתם מכפלת הגורמים הראשון והשלישי בביטוי לעיל

הגורמים המתאימים הם: 2x , 3x

נסיים הפתרון:

דוגמא 2

פרק את הטרינום לגורמים

נחפש 2 גורמים שסכומם b ומכפלתם
 הגורמים המתאימים הם: 3b , 4b-
 

נוסחאות כפל מקוצר – דוגמאות פתורות

נוסחאות כפל מקוצר:

דוגמא 1

פרק לגורמים: 

פתרון:
משתמשים בנוסחה מספר 1:

דוגמא 2:

פשט: 

פתרון

דוגמא 3

פרק לגורמים:

פתרון: