פתרון תרגילים 4-5 מבחן מפמ"ר כיתה ז' 2010

קישור מקוצר לתרגיל: http://wp.me/p4rxcn-dx

מתוך מבחן מפמ"ר במתמטיקה – כיתות ז'

תרגילים 4-5

פתרון תרגיל 4 – סדר פעולות חשבון
ע"פ סדר פעולות חשבון תחילה מחשבים את הביטוי שבסוגריים (הפנימיות, במידה ויש סוגריים בתוך סוגריים) לאחר מכן פעולות חזקות, לאחר מכן פעולות כפל וחילוק ולאחר מכן פעולות חיבור חיסור.

מפתח

פתרון שאלה 5

ניתן לפתור את התרגיל בשני אופנים.
אופן 1 – הצבת כל אחד מהתשובות במשוואה ובדיקה האם מתקבל פסוק אמת או שקר.
נבדוק ע"י הצבת תשובה 3 – הצבת x=1.

מפתח

פתרון הוא x=1 ולכן התשובה הנכונה היא תשובה מספר 3.

חשבון כיתה ו' – תרגילים פתורים מספר 22-23 משאלון במתמטיקה תשס"ו של משרד החינוך

קישור מקוצר לתרגיל: http://wp.me/p4rxcn-dr

מתוך שאלון במתמטיקה, כיתה ו', תשס"ו

שאלות 22-23

פתרון שאלה 22
למציאת הנעלם מחסרים משני אגפי המשוואה את המספר 2.25 ומפשטים:

מפתח

פתרון שאלה 23

מפתח

חשבון כיתה ו' – תרגילים פתורים מספר 24-25 משאלון במתמטיקה תשס"ו של משרד החינוך

קישור מקוצר לתרגיל: http://wp.me/p4rxcn-dk

מתוך שאלון במתמטיקה, כיתה ו', תשס"ו

שאלות 24-25

פתרון שאלה 24

הכפלת שבר בהופכי לו תיתן תוצאה 1 לכן:

מפתח

המספר החסר הוא 3/2

 פתרון שאלה 25

מפתחים את האגף השמאלי ומקבלים ביטוי דומה לאגף ימין. מתאימים מספר לנעלם באגף ימין כך שיהיה זהה לאגף שמאל.

מפתח

אם נציב נעלם שווה 3/4 נקבל ביטויים זהים באגפים שמאל וימין לכן הנעלם שווה 3/4.

משפט חפיפה שלישי: אם שלוש הצלעות במשולש אחד שוות בהתאמה לשלוש הצלעות

משפט חפיפה שלישי: אם שלוש הצלעות במשולש אחד שוות בהתאמה לשלוש הצלעות במשולש שני, אז המשולשים חופפים.

מ1

משולשים

משפט חפיפה שלישי

משפט חפיפה רביעי: שני משולשים השווים בשתיים מצלעותיהם ובזווית שמול הצלע הגדולה מביניהן – חופפים (צצ"ז)

משפט חפיפה רביעי: שני משולשים, השווים בשתיים מצלעותיהם ובזווית שמול הצלע הגדולה מביניהן – חופפים. (צצ"ז)

משפט חפיפה רביעי

נתון:

AB=DE , BC=EF

AB<BC , AC<BC

EF>ED , EF>DF

 צריך להוכיח:

מפתח
הוכחה:

הוכחת משפט חפיפה רביעי

משפט: אם במשולש זווית אחת יותר גדולה מזווית שנייה אז הצלע שמול הזווית הגדולה יותר גדולה מהצלע שמול הזווית הקטנה

משפט: אם במשולש זווית אחת יותר גדולה מזווית שנייה, אז הצלע שמול הזווית הגדולה יותר גדולה מהצלע שמול הזווית הקטנה

הוכחה:

ה1

משפט הטנגנסים – בעיה פתורה

משפט הטנגנסים מציג יחס בין אורך צלעות המשולש לבין טנגנס הזוויות שבו.

עבור משולש ששתיים מצלעותיו הן \ a, b והזוויות שמולן הן \ \alpha, \beta בהתאמה, משפט הטנגנסים קובע כי מתקיים בו היחס הבא:

 \frac{a-b}{a+b} = \frac{\tan[\frac{1}{2}(\alpha-\beta)]}{\tan[\frac{1}{2}(\alpha+\beta)]} .

משולש
תרגיל

נתון משולש שצלעותיו הן 40 ס"מ ו20 ס"מ והזווית ביניהן היא יש להתיר את המשולש

פתרון:
לפי משפט הטנגנסים

LaTeX: a+b=40+20=60
LaTeX: a-b=40-20=20
LaTeX: \alpha + \beta = 180- \gamma =180-80.5=99.5
LaTeX: \frac{\alpha + \beta }{2}=49.75^ \circ

אם נחשב את LaTeX: \frac{\alpha - \beta }{2} נוכל לחשב את שתי הזוויות ע"י פתרון מערכת שתי משוואות בשני נעלמים באלפא ובביתא

LaTeX: \frac{a + b}{a - b}=\frac{40 + 20}{40 - 20}=3=\frac{tg(\frac{\alpha+\beta}{2})}{tg(\frac{\alpha-\beta}{2})}=\frac{tg49.75^ \circ}{tg(\frac{\alpha-\beta}{2})}
LaTeX: 3=\frac{1.1812}{tg(\frac{\alpha-\beta}{2})})
LaTeX: tg\frac{\alpha-\beta}{2}=0.3937
LaTeX: \frac{\alpha-\beta}{2}=21.5^\circ
קיבלנו מערכת משוואות בשני נעלמים: LaTeX: \frac{\alpha+\beta}{2}=49.75^\circ
LaTeX: \frac{\alpha-\beta}{2}=21.5^\circ
LaTeX: \alpha=71.25^\circ
LaTeX: \beta=28.25^\circ

וכפי שנתון: LaTeX: \gamma=80.5^\circ

מה שנשאר זה לחשב את הצלע השלישית לפי משפט הסינוסים
LaTeX: \frac{c}{sin80.5^\circ}=\frac{a}{sin \alpha}=\frac{40}{sin 71.25}

LaTeX: c=41.66

אלקטרוסטטיקה – חוק קולון

אלקטרוסטטיקה – חוק קולון

חוק קולון: הכוח F הפועל בין שני מטענים חשמליים q1, q2 הנמצאים במרחק r הוא:

כאשר k קבוע שווה:

בין שני מטענים שוני סימן פועל כוח משיכה
בין שני מטענים שווי סימן פועל כוח דחיה

מטען שלילי

הוכחת משפט בגיאומטריה: עבור שני ישרים נחתכים, סכום כל שתי זוויות סמוכות הוא 180º

הוכחת משפט בגיאומטריה: עבור שני ישרים נחתכים, סכום כל שתי זוויות סמוכות הוא 180º

נוכיח את המשפט: עבור שני ישרים נחתכים סכום כל שתי זוויות סמוכות (צמודות) הוא 180º.

נתונים: שני ישרים AB ו- CD נחתכים בנקודה O

צריך להוכיח: סכום זויות צמודות הוא 180 מעלות.

שני ישרים נחתכים

הוכחה:

נתבונן בזויות הצמודות 1 ו-2 ( זויות AOC ו- BOC), ונוכיח שסכומן 180 מעלות

טענה - נימוק

באופן דומה ניתן להוכיח את נכונות המשפט גם עבור זוג הזוויות הנגדיות השני ‹AOD = ‹BOC