בעיה פתורה בגיאומטריה – ריבוע ששתי צלעותיו הסמוכות משיקות למעגל

תרגיל

פתרון

מודעות פרסומת

פתרון בעיה בגיאומטריה – מעגל חסום במשולש ישר זוית

נתונה הבעיה

פתרון בעיה בגיאומטריה - מעגל חסום במשולש ישר זוית

פתרון

פתרון בעיה בגיאומטריה - מעגל חסום במשולש ישר זוית

דלתון קעור חסום במעגל – שאלה פתורה מפמ"ר כיתה ט תשעב

דלתון קעור חסום במעגל

שאלה

נתון מעגל שמרכזו הנקודה A.
המרובע AFBC הוא דלתון (AF = AC, BF = BC)
B = 80°∢
חשבו את גודלה של זווית C. נמקו כל שלב בחישוב.

פתרון

לפתרון התרגיל נסמן את זויות A1, A2

B = 80°∢ – נתון
מכאן
A1 = 160°∢ – זוית מרכזית שווה לפעמיים הזוית ההיקפית הנשענת על אותה קשת ( FC)

מכאן:

A2= 200°∢ – זויות A1 ו – A2 על אותה נקודה וסכומן 360 מעלות

מעלות 360 = זוית C + זוית F + זוית B + זוית A2   – סכום זויות במרובע הוא 360 מעלות

נציב את זויות A2 ו- B ונקבל:

 מעלות 80= זוית C + זוית F

אך: 
זוית F = זוית C  – זויות צדדיות בדלתון שוות

לכן 
 מעלות 40= זוית C = זוית F

שאלה פתורה בגיאומטריה – הוכחה כי מרובע ניתן לחסימה במעגל

שאלה פתורה בגיאומטריה - הוכחה כי מרובע ניתן לחסימה במעגלשאלה

המרובע ABCD הוא מקבילית.
מעגל העובר דרך הקודקודים B ו- C חותך את אלכסוני המקבילית בנקודות E, F.
הוכח כי ניתן לחסום את המרובע ADFE במעגל.

פתרון

שאלה פתורה בגיאומטריה - הוכחה כי מרובע ניתן לחסימה במעגל

הוכחת משפט בגיאומטריה: כל הזוויות ההיקפיות הנשענות על אותה קשת שוות זו לזו.

נתון מעגל O ובו זוויות היקפיות BAC ו- CDB הנשענות על קשת BC, נכנה אותן זוית A וזוית D בהתאמה.

צריך להוכיח: זוית A = זוית D

בניית עזר: בונית את הקטעים OC ו- OB , נוצרת זוית מרכזית BOC הנשענת על קשת BC, נכנה אותה זוית O.

הוכחה:

1. זוית A = חצי זוית O – שתי הזוויות נשענות על קשת BC וזוית היקפית במעגל שווה למחצית הזוית המרכזית הנשענת על אותה קשת

2. זוית D = חצי זוית O – שתי הזוויות נשענות על קשת BC וזוית היקפית במעגל שווה למחצית הזוית המרכזית הנשענת על אותה קשת

לכן: זוית A = זוית D – נובע מ-1 ו- 2 – שני גדלים השווים לגודל שלישי שווים גם ביניהם.

מ.ש.ל

הוכחת משפט בגיאומטריה: לזוויות מרכזיות שוות במעגל מתאימים מיתרים שווים

נתון מעגל O, ובו מיתרים AB, CD.
זוויות מרכזיות O1, O2 נשענות על המיתרים
זוית O1 = זוית O2

צריך להוכיח AB = CD

הוכחה:
OA = OC – רדיוסים במעגל O שווים
OB = OD – רדיוסים במעגל O שווים
זוית O1 = זוית O2 – נתון

מכאן משולשים OAB, OCD חופפים – צ.ז.צ

מהחפיפה נובע: AB = CD

מ.ש.ל

הוכחת משפט בגיאומטריה – זוית היקפית במעגל שווה למחצית הזוית המרכזית הנשענת על אותה קשת

הוכחת משפט בגיאומטריה - זוית היקפית במעגל שווה למחצית הזוית המרכזית הנשענת על אותה קשתנתון מעגל O זוית מרכזית BOC וזוית היקפית BAC הנשענות על קשת BC.

צריך להוכיח:

הוכחה:
נוכיח שזוויות OAC ו- OCA שוות
OA = OC – רדיוסים במעגל O
לכן משולש AOC שווה שוקיים
מכאן הזוויות OAC ו- OCA שוות – זוויות בסיס במשולש שווה שוקיים שוות.
נסמן את זוויות OAC ו- OCA ב- x

נוכיח שזוויות OAB ו- OBA שוות

OA = OB – רדיוסים במעגל O
לכן משולש AOB שווה שוקיים
מכאן הזוויות OAB ו- OBA שוות – זוויות בסיס במשולש שווה שוקיים שוות.
נסמן את זוויות OAB ו- OBA ב- y

– סכום זוויות במשולש 180 מעלות
1. לכן:

סכום זוויות במשולש 180 מעלות
2. לכן

– סכום זוויות צמודות סביב נקודה הוא 360 מעלות
– בהצבה שיוויונים 1 ו- 2
נפתח:

לפי הסקיצה: x+y = זוית BAC

נציב ונקבל:

מ.ש.ל

הוכחת משפט בגיאומטריה – שני מיתרים נחתכים במעגל, מחלקים זה את זה כך שמכפלת קטעי מיתר אחד שווה למכפלת קטעי המיתר השני

שני מיתרים נחתכים במעגל, מחלקים זה את זה כך שמכפלת קטעי מיתר אחד שווה למכפלת קטעי המיתר השני

הוכחת משפט בגיאומטריה – ישר היוצא ממרכז המעגל וחוצה מיתר, מאונך למיתר

מוכיחים שמשולש AOB שווה שוקיים ע"י שיוויון צלעות AO ו- BO (רדיוסים), ובמשולש שווה שוקיים התיכון (OF) לבסיס (AB) מאונך לו.

ישר היוצא ממרכז המכל וחוצה מיתר, מאונך למיתר

הוכחת משפט משפט בגיאומטריה: זווית בין משיק למיתר במעגל שווה לזווית ההיקפית הנשענת על המיתר

זווית בין משיק למיתר במעגל שווה לזווית ההיקפית הנשענת על המיתר

הוכחת משפט בגיאומטריה: למיתרים שווים במעגל זוויות מרכזיות שוות

ההוכחה הינה מיידית, נתון כי המיתרים CD ו- AB שווים. מבצעים חפיפת משולשים OCD ו- OAB לפי צ.צ.צ (שיוויון המיתרים והרדיוסים המהווים צלעות המשולשים) ומהחפיפה מסיקים שיוויון הזוויות המרכזיות.

הוכחת משפט בגיאומטריה: למיתרים שווים במעגל זוויות מרכזיות שוות

פרופורציה במעגל – אם מנקודה מחוץ למעגל יוצאים שני קווים חותכים למעגל אז מכפלת חותך אחד בחלקו החיצוני שווה למכפלת חותך שני בחלקו החיצוני

שיטת ההוכחה:

מוכיחים דימיון משולשים ABE, ו- ACD, באמצעות זווית משותפת A, וזוויות היקפיות שוות (ז.ז.ז.). מהדימיון נובע הנדרש להוכיח: AB*AD = AC*AE

https://matimatok.files.wordpress.com/2011/08/57325-25d7259725d7259525d725aa25d7259b25d7259925d7259d2b25d7259c25d7259e25d725a225d7259225d7259c.gif

נוסחאות בגיאומטריה – מעגל

מעגל – רדיוס, שטח, היקף

מעגל - רדיוס, שטח, היקף
מעגל – רדיוס, שטח, היקף

שטח גזרת עיגול ואורך הקשת
גזרה היא צורה הכלואה בין שני רדיוסים במעגל לבין קשת על המעגל. היחס בין שטח הגזרה לכלל שטח העיגול שווה ליחס בין זווית הגיזרה לסיבוב שלם השווה ליחס בין אורך הקשת של הגיזרה לבין היקף המעגל.

–  זוית גיזרת העיגול הנשענת על הקשת ברדיאנים
אם  deg היא הזוית במעלות, אזי הזוית ברדיאנים תהיה:

שטח גזרת עיגול ואורך הקשת
שטח גזרת עיגול ואורך הקשת

מעגל- הגדרות ומונחים

מעגל, מיתר, רדיוס קוטרהגדרה מעגל – כל נקודות המישור שמרחקיהן מנקודה קבועה שווים זה לזה. הנקודה הקבועה נקראת מרכז המעגל.

הערה: מרכז המעגל הוא לא חלק מהמעגל.

הגדרה רדיוס המעגל – קטע המחבר את מרכז המעגל עם נקודה על המעגל.

הגדרה מיתר – קטע המחבר שתי נקודות על המעגל.

הגדרה קוטר המעגל – מיתר העובר דרך מרכז המעגל.

הגדרה קשת המעגל – חלק מהמעגל המוגבל על ידי שתי נקודות.

שימו לב: כל שתי נקודות מגדירות שתי קשתות.

היקף המעגל – הוא אורך המעגל p = 2 * π * r
כאשר:
p – היקף המעגל
r – רדיוס המעגל
π – קבוע שווה בקירוב ל- 3.14

עיגול – השטח הכלוא בתוך המעגל

שטח העיגול : S = π * r * r

הוכחת משפט בגיאומטריה: זוית היקפית במעגל הנשענת על הקוטר ישרה (שווה 90 מעלות)

נתון מעגל o שבו BC הוא קוטר ו- A נקודה על היקף המעגל. c היא זוית היקפית נשענת על הקוטר BC.

נדרש להוכיח כי זוית c ישרה (שווה 90 מעלות).

כלומר זוית BAC המורכבת מ- x+y הנשענת הקוטר BC שווה 90 מעלות

בניית עזר – בונים רדיוס המעגל AO.
נוצרו שני משולשים שווי שוקיים ששוקיהן הם רדיוסים.

נסמן הזוויות השוות במשולשים אלו ב- x , ו- y.

נתבונן במשולש ABC, סכום הזויות שבו שווה 180 מעלות

כלומר x+x+y+y = 180
או x+y = 90

גיאומטריה – המעגל – מושגים בסיסיים

קטעים במעגלקטעים במעגל

קטע המחבר בין שתי נקודות על המעגל נקרא מיתר.

רדיוס (מחוג) הוא קטע המחבר את מרכז המעגל עם נקודה הנמצאת על שפת
המעגל. אורכו מסומן באות R (או r).

מיתר העובר דרך מרכז המעגל נקרא קוטר (מסומן באות d, או D), ואורכו שווה לפעמיים רדיוס
המעגל, כלומר D=2R.

ישרים ומעגל
לישר ולמעגל עשויות להיות 2 נקודות חיתוך, נקודת חיתוך אחת או שאין
נקודות חיתוך בכלל.

חותך למעגל, משיק, וחיצוני למעגל
א. אם לישר יש שתי נקודות חיתוך עם המעגל, אז הוא נקרא חותך למעגל.
ב. אם לישר יש נקודת חיתוך אחת עם המעגל, אז הוא נקרא משיק למעגל.
ג. אם לישר אין נקודות חיתוך עם המעגל, אז הוא נקרא ישר חיצוני (זר)
למעגל.


זוויות
זווית שקודקודה במרכז המעגל נקראת זווית מרכזית (שוקיה הם שני רדיוסים
במעגל)
זווית שקודקודה על היקף המעגל נקראת זווית היקפית (שוקיה הם שני
מיתרים במעגל).
זווית שקודקודה בתוך שטח המעגל נקראת זווית פנימית (שוקיה הם שני חלקי
מיתרים במעגל).
זווית שקודקודה מחוץ לשטח המעגל נקראת זווית חיצונית (שוקיה הם שני
חותכים למעגל).

קשתות
שתי נקודות על שפת המעגל תוחמות ביניהן חלק מהיקף המעגל, הנקרא קשת. מאחר שנוצרות שתי קשתות, נהוג להתייחס לקשת הקטנה ביניהן (אלא אם נאמר אחרת; אם הקשתות שוות נדרש מידע נוסף)

נהוג לומר שגודל הקשת במעלות שווה לזווית המרכזית הנשענת על אותה קשת. עם זאת, יש לציין כי הגודל הנ"ל מהווה מדד לחלק של הקשת מתוך כל המעגל וכי מדידת אורך הקשת נעשית ברדיאנים.

המעגל מהווה את שפת העיגול, כלומר מעגל הוא הקו התוחם את שטח העיגול.