משולש שווה שוקיים – מציאת השטח ע"פ הצלעות

משולש שווה שוקיים

בגאומטריה, משולש שווה-שוקיים הוא משולש ששתיים מצלעותיו שוות זו לזו. הצלעות השוות נקראות "שוקיים" והצלע השלישית נקראת "בסיס"

 בשרטוט להלן הצלעות השוות, שוקיים, מסומנות באות b , הבסיס באות a.

הגובה h במשולש שווה שוקיים יכול להימצא ממשפט פיתגורס:

מכאן ניתן לחשב את שטח המשולש S:

קישורים: 

חוצה זוית במשולש שווה שוקיים הוא תיכון, ומאונך לצלע ממול 
זוויות בסיס במשולש שווה שוקיים שוות.

מודעות פרסומת

בעיה פתורה בגיאומטריה – משולש שווה שוקיים חסום במעגל ומשיקים לקודקודיו

בעיה פתורה בגיאומטריה - משולש שווה שוקיים חסום במעגל ומשיקים לקודקודיו
בעיה פתורה בגיאומטריה – משולש שווה שוקיים חסום במעגל ומשיקים לקודקודיו

בעיה פתורה בגיאומטריה – שני גבהים לצלעות במשולש שווים

מפתרון הבעיה להלן ניתן ללמוד משפט בגיאומטריה: אם במשולש שני גבהים שווים זה לזה, אזי צלעות המשולש המאונכות לגבהים שוות.

נתון
בעיה פתורה בגיאומטריה - שני גבהים לצלעות במשולש שוויםבמשולש ABC הגבהים BD ו- CE נפגשים בנקודה F. נתון כי BD = CE הוכיחו כי:
א. המשולש ABC שווה שוקיים.
ב. FC = BF
ג. AD = AE

פתרון

תרגיל פתור בגיאומטריה – מקבילית חסומה במשולש שווה שוקיים

תרגיל פתור בגיאומטריה - מקבילית חסומה במשולש שווה שוקייםשאלה

בתוך משולש ABC חסומה מקבילית DEFG.
נתון AC = BC , DB = DG = CF
חשב את זוויות המשולש ABC.

פתרון

על מנת לפתור את התרגיל נסמן ב- x את זוית B, ונמצא את זוויות נוספות בסקיצה כפונציה של x. לאחר מכן נמצא משוואה של קשר מסוים בין הזוויות ונחלץ את x.

1. כאמור נקבע
2. מכאן – הצלעות AC = BC – מול צלעות שוות זוויות שוות במשולש ABC
3. מכאן – משלימה את זוויות A, B ל- 180 במשולש ABC
4. EF = DG – צלעות נגדיות במקבילית שוות
5. CF = DG – נתון
6. CF = EF – נובע מ- 4, 5
7. – נובע מ- 6 – מול צלעות שוות זוויות שוות במשולש CEF
8. – נובע מ- 3, 7

9. – זוויות מתאימות – DE מקביל ל – BC , חותך AB
10. – נובע מ- 9,1
11. – משלימה את זוויות A, ADE ל- 180 במשולש ADE

12. DB = DG – נתון
13. – מול צלעות שוות זוויות שוות במשולש DGB
14. – נובע מ- 1, 13
15. – צמודה לזוית DGB השווה ל- x
16. – נגדית לזווית FGD במקבילית DEFG – זויות נגדיות במקבילית שוות

17. הזוויות AED, DEF, CEF נמצאות על הקטע AC ולכן סכומן 180 מעלות – סכום זוויות על ישר 180 מעלות
18. – נובע מ- 8, 11, 16,17
19. – פתרון משוואה 18

מכאן:

20. – נובע מ- 19, 1,2,3

מ.ש.ל

בעיה פתורה בגיאומטריה: שני מלבנים זהים ומשולש ישר זווית שווה שוקיים

בעיה פתורה בגיאומטריה: שני מלבנים זהים ומשולש ישר זווית שווה שוקייםהמרובעים ABCD ו- EFCG הם מלבנים.
נתון BC = CG , FC = DC

הוכח המשולש ACE הוא ישר זווית ושווה שוקיים

הוכחה:
השיטה: מבצעים חפיפת משולשים ABC ו- CFE. מהחפיפה נועים שוויונות הצלעות AC, EF וסכום הזוויות ACB, ECF תשעים מעלות.

חפיפת משולשים ABC ו- CFE
1. CD = AB – צלעות נגדיות במלבן ABCD שוות
2. CD = FC – נתון
3. AB = FC – נובע מ- 1 ו-2

4. CG = AB – צלעות נגדיות במלבן EFCG שוות
5. CG = BC – נתון
6. AB = BC – נובע מ-4 ו-5

7. זווית ABC = זווית EFC = זוויות ישרה – כל הזוויות במלבן ישרות

8. משוויונים 3,6,7 נובע כי משולש ABC חופף למשולש CFE צ.ז.צ

מהחפיפה נובע:
EC = AC – מ.ש.ל. 1

9. זווית FCE = זווית CAB – נובע מהחפיפה 8
10. זווית ACB + זווית CAB = זווית ישרה – סכום הזוויות החדות במשולש ישר זוית ABC שווה 90 מעלות
מ-9 ו- 10 נובע:
11. זווית ACB + זווית FCE = זווית ACE = זווית ישרה – הצבה – מ.ש.ל 5

הוכחת משפט בגיאומטריה: במשולש שווה שוקיים מרכז הבסיס נמצא במרחקים שווים מהשוקיים

הוכחת משפט בגיאומטריה: במשולש שווה שוקיים מרכז הבסיס נמצא במרחקים שווים מהשוקייםנתון משולש ABC שווה שוקיים (AB = AC) ,
AO תיכון ל- BC כך ש: BO = CO,
O מאונך ל- AB, ו- OF מאונך ל- AC

צריך להוכיח: OE = OF

הוכחה:
נוכיח את שיוויון הקטעים OF ו- OE ע"י חפיפת משולשים: OBE, ו- OCF.

1. זוית B = זוית C – זויות בסיס במשולש שווה שוקיים שוות
2. זווית BEO = זווית CFO = זווית ישרה – נתון
מכאן נובע מ- 1 ו- 2:
3. זווית O1 = זווית O2 – משלימות ל- 90 מעלות

4. BO = BO – צלע משותפת

מכאן נובע:
משולש BEO חופף למשולש CFO – ז.צ.ז. – שיוויונים 1, 3, 4

מהחפיפה נובע: OE = OF

מ.ש.ל

הוכחת משפט בגיאומטריה: מול זוויות שוות במשולש צלעות שוות

הוכחת משפט בגיאומטריה: מול זוויות שוות במשולש צלעות שוות

נתון משולש ABC שבו זויות הבסיס B ו- C שוות.
צריך להוכיח כי הצלעות AB ו- AC מול הזוויות שוות.

הוכחה
בונים בניית עזר אנך מנקודה A לבסיס BC בנקודה O.

1. זוית O1 = זוית O2 = תשעים מעלות – נתון מבניית העזר
2. זוית B = זוית C – נתון

מכאן
3. זוית A1 = זוית A2 – משלימות ל- 90 מעלות

4. AO = AO – צלע משותפת

מכאן
משולש ABO חופף למשולש ACO – זוית צלע זוית – שיוויונים 1,3,4

מהחפיפה נובע
AB = AC – מ.ש.ל

בעיה פתורה בגיאומטריה – אנכים לשוקיים במשולש ש"ש

בעיה פתורה בגיאומטריה - אנכים לשוקיים במשולש שווה שוקיים

בעיה פתורה בגיאומטריה – אנכים לשוקיים במשולש שווה שוקיים

נתון משולש שווה שוקיים AB = AC
BD ו- CE הם גבהים לשוקיים במשולש, BD מאונך ל- AC, ו- CE מאונך ל- AB

א. נוכיח שמשולשים BDC ו- CEB חופפים:
שני המשולשים הם ישרי זווית לפיכך נדרשים עוד שני שיוויונים במשולשים להוכיח חפיפתם.
זהות ראשונה: זווית CBE = זווית BCD – זוויות בסיס במשולש שווה שוקיים ABC שוות
זהות שניה: BC = BC – צלע משותפת
מכאן: משולשים BDC ו- CEB חופפים
מ.ש.ל א'

ב. נוכיח ש- DE||BC באמצעות משפט תאלס הפוך:
שני ישרים (BC, DE) המקצים על שוקי זווית (BAC) קטעים פרופורציונים (AE/BE = AD/DC) , מקבילים זה לזה.

(1) AB = AC – נתון
(2) BE = CD – נובע מהחפיפה שהוכחה ב- א
לכן:
(3) AE = AD , נובע מ- (1) ו- (2): חיסור גדלים שווים מגדלים שווים נותן גדלים שווים
AE/BE = AD/DC נובע מ- (2) ו- (3) חלוקת גדלים שווים מגדלים שווים נותן מנות שוות
לכן
DE||BC – משפט תאלס הפוך:
שני ישרים (BC, DE) המקצים על שוקי זווית (BAC) קטעים פרופורציונים (AE/BE = AD/DC) , מקבילים זה לזה.
מ.ש.ל ב

ג. נוכיח ש: AE*AC = AD*AB
נוכיח דימיון משולשים ABC, AED
זווית ABC = זווית AED – מתאימות מקבילים DE||BC (הוכח בסעיף ב) , חותך AB
זווית ACB = זווית ADE – מתאימות מקבילים DE||BC (הוכח בסעיף ב) , חותך AC
זווית A = זווית A – משותפת
מכאן משולשים ABC, AED דומים – משולשים ששלוש זוויותיהם (או שניים מהזוויות) שוות, דומים
מהדימיון נובע: AE/AB = AD/AC – יחסי צלעות מתאימות במשולשים דומים
מכאן AE*AC = AD*AB
מ.ש.ל

משפט בגיאומטריה: אם במשולש חוצה זווית מתלכד עם הגובה ותיכון המשולש הוא שווה שוקיים

אם במשולש חוצה זווית מתלכד עם הגובה ותיכון המשולש הוא שווה שוקייםנתון כי הקטע AO חוצה זווית A כך שזווית A1 שווה לזווית A2.

AO גם תיכון לצלע BC כך ש: BO=CO
בנוסף AO אנך ל – BC.

נדרש להוכיח כי משולש ABC שווה שוקיים: AB=BC
הוכחה:
נוכיח ע"י חפיפת משולש AOB למשולש AOC ע"י ז.צ.ז.

זווית A1 = זווית A2 : נתון
AO = AO : צלע משותפת
זווית O1 = זווית O2 = זווית ישרה = 90 מעלות : נתון

מכאן משולשים AOB, AOC חופפים

מהחפיפה נובע AB=AC
ולכן משולש ABC שווה שוקיים.

מ.ש.ל

משפט בגיאומטריה: זוויות הבסיס במשולש שווה שוקיים שוות

משפט בגיאומטריה: זוויות הבסיס במשולש שווה שוקיים שוותנתון משולש שווה שוקיים ABC שבו AB=AC.

נדרש להוכיח כי הזווית B שווה לזווית C.

שיטת ההוכחה:
בונים בניית עזר את התיכון AO כך ש- OC=OB
מוכיחים כי המשולש AOC חופף למשולש AOB ע"פ צ.צ.צ:
AB=AC: נתון (משולש שווה שוקיים)
OC = AO : צלע משותפת.
OC= OB : מבניית העזר

מהחפיפה נובע כי זווית B שווה לזווית C
מ.ש.ל