תרגיל פתור – מבחן בגרות מתמטיקה 3 יחידות חורף תשע"א – חיתוך פרבולה עם הצירים

שאלה מספר 1

א. נתונה הפונקציה

למציאת נקודות חיתוך עם ציר x נציב  y =0

 
תשובה:
נקודות החיתוך של הפונקציה y עם ציר x הן:

 

ב. למציאת חיתוך הפרבולה עם ציר y (נקודה C) נציב במשוואה:
 x = 0 ונקבל: y = -5
לכן שיעור חיתוך הפונקציה עם ציר y (נקודה C) הוא:

ג. מאחר ונקודה C על ציר y , מרחקה מראשית הצירים הוא הערך המוחלט של שיעור ה-y שלה, כלומר 5.

ד. המרחק בין נקודות A , B הנמצאות על ציר x : הוא הערך המוחלט של הפרש שיעורי ה- x  שלהן כלומר:
|5-1| = 4

תשובה : המרחק בין נקודות A , B הוא 4.

ה. באופן דומה ניתן לחשב את המרחק בין נקודה A ששיעורה
|1-0| = 1

תשובה: המרחק של נקודה A מראשית הצירים הוא 1

מציאת שיעור קודקוד הפרבולה

שיעורי קודקוד הפרבולה עבור הם:

מציאת שיעורי קודקוד הפרבולה:

הפרבולה חותכת את ציר y בנקודה

עקב סימטריה קיימת נקודה נוספת שבה y=c, נמצא אותה ע"י פתרון המשוואות:

ישנן שתי נקודות חיתוך של הפרבולה  עם הישר y=c והן:

מציאת קודוקוד פרבולה כממוצע שתי נקודות סימטריה על הפרבולה
מציאת קודוקוד פרבולה כממוצע שתי נקודות סימטריה על הפרבולה

שיעור קודקוד הפרבולה M נמצא באמצע הקטע PQ ולכן

נמצא את ע"י הצבת בפונקציה הריבועית:

ולכן שיעורי קודוקוד הפרבולה M:

שאלה פתורה מתמטיקה ממבחן מפמר כיתה ט רמה רגילה מאי 2012 – פרבולה



1. בציור שלפניכם משורטט גרף של פונקציה

פרבולה עם נקודת מינימום ושני שורשים
פרבולה עם נקודת מינימום ושני שורשים חיוביים

א.      איזו מבין הפונקציות הבאות מתאימה לתאר את הגרף הנתון?
I
.    t(x) = 2(x – 3)2 + 4
II.   p(x) = –2(x + 3)2 – 4
III.  k(x) = –2(x – 3)2 – 4
IV.  n(x) = 2(x – 3)2 – 4

פתרון סעיף א
הפונקציה הינה פרבולה עם שני נקודות חיתוך על ציר x  ולכן ישנם שני שורשים (פתרונות). לפיכך תשובות 1,2,3 נפסלות כי אלו פונקציות  ללא נקודות חיתוך עם ציר x, לדוגמא פונקציה  2:
 p(x) = –2(x + 3)2 – 4
נקודות חיתוך עם ציר x כאשר  0  p(x) =
0 = –2(x + 3)2 – 4
4 =  –2(x + 3)2
2- = (x + 3)2  – אין פתרון כי אין מספר שריבועו שלילי.
התשובה הנכונה הנה תשובה 4.

ב. נתונה הפונקציה:   m(x) = (x – 3)2 – 4

הקיפו בעיגול "נכון / לא נכון" לגבי כל טענה:
I. לפונקציה y = –7 יש שתי נקודות חיתוך עם הפונקציה הנתונה נכון / לא נכון
II. לפונקציה y = 0 יש שתי נקודות חיתוך עם הפונקציה הנתונה נכון / לא נכון
III. לישר x = 3 יש נקודת חיתוך אחת עם הפונקציה הנתונה       נכון / לא נכון
IV. לפונקציה הנתונה ולפונקציה f(x) = (x – 3)2 יש אותו ציר סימטריה נכון / לא נכון 
פתרון סעיף ב
התשובה הנכונה היא 2. הפונקציה y= 0 היא ציר x בעצמו ויש לציר x שתי נקודות חיתוך עם הפונקציה.

 

 יש שני פתרונות למשוואות ולכן יש שני נקודות חיתוך עם y = 0

ג. באיזה תחום הפונקציה שלילית? הציגו דרך פתרון.

פתרון סעיף ג
בסעיף הקודם מצאנו שני נקודות חיתוך לפונקציה עם ציר x, שהן: 7, 1-
גרף הפונקציה (פרבולה) יראה כך:

פרבולה עם נק' מינימום, שתי נק' חיתוך עם ציר x
פרבולה עם נק' מינימום, שתי נק' חיתוך עם ציר x

ניתן לראות כי לפרבולה ערכים שליליים (הקטע בצבע כחול של הפרבולה) עבור x קטן מ- 7 וגדול מ- (1-)
 

ד. כתבו פונקציה ריבועית שהקודקוד שלה הוא (4-, 3)  ואין לה נקודות חיתוך עם ציר x.

פתרון סעיף ד

הפונקציה הריבועית היא מהצורה:

קודקודה בשיעור (4-, 3) . הפרבולה תהיה מהצורה:

מתחת לציר x ללא נקודות חיתוך עם ציר x כלומר מהצורה בסקיצה.

לפרבולה נקודת מקסימום לכן a < 0

קודקוד הפרבולה בשיעור (4-, 3) לכן ע"פ נוסחאות שיעורי הפרבולה:

 

נבחר   a = -1 ע"פ התנאי a < 0

קיבלנו b = 6
c = -13

 ולכן המשוואה הריבועית:

קישורים:

חקירת פונקציות פרבולית – פרבולה מתחת לקו מקביל לציר x

שאלה
מצא לאילו ערכים של m נמצא גרף הפונקציה
כולו מתחת לקו y =1 .

פתרון:
על מנת שגרף הפונקציה יהיה כולו מתחת לקו y = 1 נדרוש כי y < 1 או:

נפתח:

הגרף של הפונקציה הפרבולית יהיה קטן מאפס כאשר
1. לפרבולה נקודת מקסימום – a <0 כלומר m – 5 <0
2. לפרבולה אין נקודות חיתוך עם ציר x – הדטרמיננטה קטנה מאפס
כלומר

נתחיל עם התנאי הראשון: m – 5 m

התנאי השני:
מתקבל:

נמצא את ערכי m כך ש:

מתקבל:

החיתוך של התנאים הראשון והשני הוא פתרון השאלה:

תרגיל פתור בחקירת פונקציה פרבולית

פרבולה מעל ציר x
פרבולה מעל ציר x

מצא עבור אילו ערכים של m נמצא הגרף של הפונקציה הבאה מעל ציר x:

מדובר בגרף פונקציה מעריכית מהמעלה השניה (פרבולה) מהצורה:
כאשר:
a = 1
b = -m
c = m + 3

לפרבולה אין נקודות חיתוך עם ציר x כאשר הדטרמיננטה קטנה מאפס:
הפרבולה תהיה מעל ציר x כאשר היא עם נקודת מינימום:

נמצא את ערכי m לתנאים לעיל ונבצע חיתוך.

תנאי א –
לפרבולה אין נקודות חיתוך עם ציר x כאשר הדטרמיננטה קטנה מאפס:


לפרבולה אין חיתוך עם ציר x עבור ערכי m:

תנאי ב
הפרבולה תהיה מעל ציר x כאשר היא עם נקודת מינימום:
תנאי זה תמיד נכון עבור a = 1

החיתוך של תנאים א, ב הוא הפתרון:

בעיה פתורה אלגברה פונקציה ריבועית – בגרות 3 יחידות מתמטיקה

https://matimatok.files.wordpress.com/2011/03/f0a96-25d725a925d7259025d7259c25d725942b25d725a425d7259525d725a025d725a725d725a625d7259925d725942b25d725a825d7259925d7259125d7259525d725a225d7259925d725aa.gif

פתרון

סעיף א

נתונה הפונקציה הריבועית y = x2 + 6x + 9

למציאת נקודות חיתוך (נקודות משותפות) של הפרבולה עם ציר x נציב בפונקציה y = 0.

x2 + 6x + 9= 0

(x + 3)2 = 0

לפונקציה פתרון אחד, הפרבולה משיקה לציר x בנקודה:

x = -3

סעיף ב

נקודת חיתוך עם ציר y , כאשר x = 0 :

y = x2 + 6x + 9

מציבים x = 0:

y = 9

סעיף ג

המרחק בין ראשית הצירים לנקודה משותפת של גרף הפונקציה עם ציר y:

ראשית הצירים היא הנקודה (0, 0).

נקודה משותפת של גרף הפונקציה עם ציר y, מצאנו בסעיף ב לעיל הנקודה: (0, 9)

המרחק בין הנקודות (0, 0), ו-(0, 9) הוא 9 יחידות

שאלה פתורה בחקירת פונקציות – מתוך בגרות 5 יח' קיץ 2009


https://matimatok.files.wordpress.com/2011/02/bf01c-25d725a925d7259025d7259c25d725942b25d7259e25d725a125d725a425d725a82b1.gif


תשובה לסעיף א
משוואת הפונקציה המעריכית ממעלה שניה נתונה ע"י
y = ax² + bx +c . צורתה של הפונקציה היא פרבולה.

כאשר a > 0 קודקוד הפרבולה הוא נקודת מינימום, וכאשר a > 0 קודקוד הפרבולה הוא נקודת מקסימום.


https://matimatok.files.wordpress.com/2011/02/c07e4-25d725a425d725a825d7259125d7259525d7259c25d725942b25d725a225d7259c2b25d725a625d7259925d725a82b25d7259025d7259925d725a725d725a1.gif

על מנת שהפרבולה לא תעבור מתחת לציר x נדרוש כאמור שהיא תהיה בעלת נקודת מינימום כלומר a > 0.

בנוסף נדרש שהפרבולה לא תחתוך את צירx או שתשיק לו בנקודת המינימום שהרי דרשנו שהיא לא תעבור מתחת לציר x.

כלומר נדרוש שלא יהיו לה שורשים כלל או שורש אחד: b²– 4ab 0

ולכן עבור הפונקציה : y = (m-1)x²– (2m – 2)x + 9- m

נציב:

m – 1 >0

(2m -2)2 -4(m-1)(9-m) ≤ 0

m > 1

4m2 – 8m +4 -4(-m2 +10m -9) ≤ 0

4m2 – 8m +4 + 4m2 -40m +36 ≤ 0

8m2 – 48m + 40 ≤ 0

m2 – 6m + 5 ≤ 0

(m – 1)(m – 5) ≤ 0

מתקבלים האי שיויונים:

≤ 5 1 ≤ m

m > 1

החיתוך ביניהם (פתרון סעיף א): ≤ 5 1 ≤ m

סעיף ב

נתונה סקיצה של פרבולה עם נקודת מקסימום y = ax2 + bx +c שקודקודה מעל הישר y= 4