משוואה ממעלה ראשונה – תרגיל פתור

פתור את המשוואה

פתרון

נגביל תחילה את תחום ההגדרה של הפתרונות לדוגמא שהמכנים חייבים להיות שונים מ- 0:

 

נפתח את המשוואה ונפתור:
תחילה נכפול את כל אגפי המשוואה במכפלת המכנים   ונקבל: 

 
נפתח ונפתור:

 

 בדיקת הפתרון:

 

מודעות פרסומת

תרגיל פתור סדרה חשבונית – מציאת הפרש סדרה ואיברה הראשון ע"פ קשרים בין איברים בה

תרגיל

בסדרה חשבונית האיבר השביעי גדול פי 4 מהאיבר השלישי וסכום האיברים השלישי והרביעי גדול ב– 1 מהאיבר החמישי. מצא את הפרש הסדרה החשבונית.

פתרון


נסמן את האיבר הראשון בסדרה a1 ואת הפרש הסדרה d

האיבר השלישי בסדרה הוא:
a3 = a1 + 2d

והאיבר השביעי:
a7 = a1 + 6d

ע"פ נתוני השאלה האיבר השביעי גדול פי 4 מהאיבר השלישי: a7 = 4a1

a1 + 2d)*4 = a1 + 6d)  

האיברים הרביעי והחמישי הם:
a4 = a1 + 3d
a5 = a1 + 4d

סכום האיברים השלישי והרביעי גדול ב – 1 מהאיבר החמישי :  a3 + a4 = a5 + 1

לכן:
a1 + 2d + a1 + 3d = a1 + 4d + 1

נפתור את שני המשוואות :

a1 + 2d + a1 + 3d = a1 + 4d + 1
a1 + 2d)*4 = a1 + 6d)


a1 + d = 1
3a1 + 2d = 0

ונקבל
a1 = -2
d=3
תשובה : הפרש הסדרה הוא 3

סדרה הנדסית – הסבר ודוגמאות פתורות

במתמטיקה, סדרה הנדסית היא סדרה של מספרים, כך שהמנה של כל שני איברים עוקבים (או היחס בין כל שני איברים סמוכים) היא קבועה. במלים אחרות, ניתן לחשב כל איבר על ידי הכפלת האיבר הקודם לו במנת הסדרה. היא נקראת סדרה הנדסית משום שכל איבר בה הוא ממוצע הנדסי של האיברים הסמוכים לו.

סדרה הנדסית מוגדרת על ידי שני מרכיבים: האיבר הראשון שלה ומנת איבריה. משני נתונים אלו ניתן לדעת את ערכו של כל איבר בסדרה. אם הוא האיבר הראשון ו־ היא מנת הסדרה, האיבר ה־-י נתון על ידי הנוסחה .

ניתן לחשב את סכום הסדרה עד האיבר ה־-י (כולל) בעזרת הנוסחה .

דוגמה לסדרה הנדסית שמנתה היא 3 והאיבר הראשון שלה הוא 2: 162 ,54, 18, 6, 2. מספר איברי הסדרה הוא 5. מכאן  שסכום הסדרה הוא

דוגמאות תרגילים פתורים

תרגיל 1

נתונה סדרה הנדסית שבה האיבר השני שווה 54 והאיבר החמישי שווה 16. מצא את האיבר הראשון בסדרה ואת המנה.
פתרון תרגיל 1

נתון:

נדרש למצוא את a1 ו-  q

תרגיל 2

סכום שלושת האברים הראשונים בסדרה הנדסית הוא 380. סכום שני האברים הראשונים גדול ב-20 מהאבר השלישי. מצא את שלושת האברים הראשונים
פתרון תרגיל 2
נסמן את איברי הסדרה ב-   ואת המנה q.

משוואה 1: סכום שלושת האיברים הראשונים בסדרה הוא 380 לכן:

משוואה 2: סכום שני האברים הראשונים גדול ב-20 מהאיבר השלישי לכן: 

ע"פ הגדרת סדרה הנדסית:

לכן משוואות 1 ו -2 :

קיבלנו שתי משוואות בשני נעלמים, נפתור:

 

חיבור המשוואות
 

 הצבת a1 באחת המשוואות:
 
קיבלנו משוואה ריבועית, נפתור:

כלומר יש שתי אפשרויות לסדרה:
אפשרות אחת עם איבר ראשון 80 ומנה 1.5, כלומר:
 

אפשרות שניה:
 

הוכחת נוסחאות לסכום סדרה חשבונית ודוגמא פתורה

הוכחת נוסחאות למציאת סכום סדרה חשבונית ודוגמא פתורה

  נתונה סדרה חשבונית 

a1– האיבר הראשון בסדרה.
 an– האיבר האחרון בסדרה.
n – מספר האיברים בסדרה.
d – הפרש הסדרה.

 
כפי שכבר מצאנו ניתן לחשב את האיבר ה- nי בסדרה בנוסחה:   a_n=a_1+(n-1) \cdot d

 סכום n איברים ראשונים בסדרה חשבונית נתון בנוסחאות

הוכחת נוסחאות למציאת סכום n האיברים הראשונים בסדרה חשבונית

הוכחת נוסחאות למציאת סכום n האיברים הראשונים בסדרה חשבונית
הוכחת נוסחאות למציאת סכום n האיברים הראשונים בסדרה חשבונית 

  מציאת סכום סדרה חשבונית – דוגמא פתורה

  מציאת סכום סדרה חשבונית - דוגמא פתורה

אין תגו

שתי משוואות עם שני נעלמים מהמעלה הראשונה – דוגמא פתורה

פתור מערכת המשוואות:

מאחר והאגף הימני בשתי המשוואות שווה 1 נשווה את האגפים השמאליים ונפתח:

קיבלנו

נפתור לפי שיטת ההצבה, נציב את y באחת המשוואות, נניח הראשונה ונקבל:

נחלץ את x ונפתור:

לבסוף נבצע בדיקה:

תרגילים נוספים עם תשובות

תרגילים ותשובות - מערכת משוואות ממעלה ראשונה

פתרון שתי משוואות לינאריות בשני נעלמים – שיטת ההצבה

לפנינו שתי משוואות לינאריות בשני נעלמים:

x   + 3y = 17
3x + 2y = 23

נציב את המשוואה הראשונה x = 17 – 3y במשוואה השניה:

7y = 28

y = 4

נחשב את x :
x = 17 – 3y = 17 – 3*4 = 17 – 12 = 5

x = 5

שברים – כפל שבר במספר שלם


דוגמא 1:

נתון לנו התרגיל    , זהו למעשה השבר 4/6 מוכפל במספר שלם 6.

שיטת הפתרון:
כופלים את מונה השבר 4 במספר השלם 5 ומחלקים במכנה 6. המספר השלם "קופץ" למונה ומוכפל בו.

פיתוח הפתרון:   

התוצאה היא



דוגמא 2

פתור התרגיל  

תחילה מכפילים השלם במונה ומחלקים במכנה:   

תוצאת המונה: 


צמצום המונה והמכנה ב- 2 :

אפשר גם הצגה עשרונית של הפתרון:   

טרפז – מונחים , גובה, בסיסים, שטח, טרפז שווה שוקיים

טרפז - מונחים , גובה, בסיסים, שטח

טרפז הוא מרובע אשר לו שתי צלעות נגדיות מקבילות (אין שום תנאי על הצלעות האחרות). אם גם שתי הצלעות האחרות מקבילות זו לזו, הרי שהטרפז הוא מקבילית. במקורות רבים מוגדר הטרפז בצורה מצמצמת, כ"מרובע אשר לו זוג אחד בלבד של צלעות מקבילות" (ראו הרחבה בהמשך ערך זה), ולפי הגדרה זו המקבילית איננה טרפז.

בטרפז שאיננו מקבילית, שתי הצלעות המקבילות נקראות "בסיסי הטרפז" (לפעמים קרויה "בסיס" רק הצלע הארוכה יותר), ושתי האחרות "שוקי הטרפז". בטרפז כזה ניתן להמשיך את שוקי הטרפז עד שהן ייפגשו בנקודה, ובצורה זו נוצר משולש המכיל את הטרפז. זוג הזוויות הסמוכות לכל אחד מהבסיסים נקרא זוויות בסיס.

מרובע הוא טרפז אם ורק אם יש לו שתי זוויות סמוכות שסכומן 180 מעלות.

טרפז שווה שוקיים – טרפז נקרא שווה-שוקיים אם זוויות הבסיס שלו שוות. בטרפז שווה-שוקיים שתי השוקיים שוות באורכן ושני האלכסונים שווים. טרפז שבו שתי השוקיים שוות באורכן הוא שווה-שוקיים או מקבילית.

את שטח הטרפז ניתן לחשב כמכפלת המרחק בין שתי הצלעות המקבילות (זהו גובה הטרפז) והממוצע החשבוני של אורך הצלעות הללו. דבר זה מוביל לנוסחה הידועה של שטח משולש, כאשר אנו מחשיבים את המשולש כטרפז שאחת הצלעות המקבילות כווצה לנקודה בודדת (כלומר אורך 0). נוסחאות לחישוב שטח

טרפז כלשהו (כאשר a,b – בסיסים ; c,d צלעות):

h – גובה הטרפז
a – אורך בסיס אחד
b – אורך בסיס שני

קישורים:

טרפז שווה שוקיים

האלכסונים בטרפז שווה שוקיים שווים זה לזה
הזוויות שליד כל בסיס בטרפז שווה שוקיים שוות זו לזו.
אם האלכסונים בטרפז שווים זה לזה אז הוא טרפז שווה שוקיים.

קטע אמצעים בטרפז

קטע היוצא מאמצע שוק אחת בטרפז ומקביל לבסיסים חוצה גם את השוק השניה
קטע האמצעים בטרפז מקביל לבסיסים ושווה למחצית סכומם.

דלתון קעור חסום במעגל – שאלה פתורה מפמ"ר כיתה ט תשעב

דלתון קעור חסום במעגל

שאלה

נתון מעגל שמרכזו הנקודה A.
המרובע AFBC הוא דלתון (AF = AC, BF = BC)
B = 80°∢
חשבו את גודלה של זווית C. נמקו כל שלב בחישוב.

פתרון

לפתרון התרגיל נסמן את זויות A1, A2

B = 80°∢ – נתון
מכאן
A1 = 160°∢ – זוית מרכזית שווה לפעמיים הזוית ההיקפית הנשענת על אותה קשת ( FC)

מכאן:

A2= 200°∢ – זויות A1 ו – A2 על אותה נקודה וסכומן 360 מעלות

מעלות 360 = זוית C + זוית F + זוית B + זוית A2   – סכום זויות במרובע הוא 360 מעלות

נציב את זויות A2 ו- B ונקבל:

 מעלות 80= זוית C + זוית F

אך: 
זוית F = זוית C  – זויות צדדיות בדלתון שוות

לכן 
 מעלות 40= זוית C = זוית F

מהו הגרף המתאים לפונקציה – שאלת בונוס מפמ"ר כיתה ט מאי 2012

שאלת בונוס מתוך מבחן מפמ"ר מאי 2012 – מציאת הגרף המתאים לפונקציה

פתרון

ניתן לראות כי מכנה הפונקציה מקבל ערך 0 עבור x = 3  לכן הפונקציה אינה מוגדרת עבור x = 3.
בגרפים 2, 3 הפונקציה מוגדרת. בגרף 2 הפונקציה מקבלת ערך 0 , ובגרף 3 הפונקציה מקבלת ערך 4- .
לכן גרפים 2, 3 נפסלים.

נשארנו עם גרפים 1, 4.
נבדוק נקודת חיתוך הפונקציה עם ציר y. נציב x = 0

:  
ונקבל  y = (9-4)/9 = 5/9  עבור x = 0

תוצאה זאת מתאימה לגרף 1 . בגרף 4,  y = 1  עבור  x = 0

בדיקה נוספת לאימות היא בדיקת נקודות חיתוך עם ציר x , עבור  y = 0

הצבה בפונקציה y = 0  תוביל לשני ערכי x = 1,5 , ושוב ההתאמה לגרף 1.

לכן הגרף המתאים לפונקציה הוא גרף 1.

קישורים:

מבחן מפמ"ר מתמטיקה כיתה ט – רמה רגילה תשע"ב – שאלות פתורות: שאלות 1-6 , שאלה 7 , שאלות 8-9 , שאלה 10 , שאלה 11 , שאלות 12-13 , שאלה 14 -15 , שאלה 16

חרוט ישר – שטח בסיס, מעטפת, נפח

חרוט ישר

חרוט, או חדודית, קרוי גם קוֹנוּס (מיוונית: κώνος) הוא גוף תלת-ממדי, המוגדר על ידי בסיס כלשהו, הקרוי ה"מכוון" של החרוט, ונקודה במרחב, שאינה שייכת לבסיס ("קודקוד החרוט"). החרוט מתקבל כאוסף כל הנקודות הנמצאות על קטעים ישרים הנמתחים בין הבסיס לקודקוד. עצם אשר צורתו כשל חרוט מתואר כ"חרוטי" או כ"קוני".
גובה החרוט הוא הקטע המתחיל בקודקוד החרוט והמאונך למישור העובר דרך בסיסו. גם אורך הקטע מתואר בשם "גובה".
פעמים רבות משתמשים בשם "חרוט" או "חרוט ישר" לציון חרוט שבסיסו עיגול וגובהו עובר במרכז העיגול (הקודקוד נמצא בדיוק "מעל" מרכז המעגל). חרוט ישר מתקבל על ידי סיבוב משולש ישר-זווית סביב ציר (שמתלכד עם הגובה). חרוט עיגולי שצירו אינו מאונך לבסיסו קרוי חרוט משופע.

 פני החרוט הם משטח ישרים.
הנפח V של חרוט שגובהו h ושטח בסיסו S הוא V=\tfrac{1}{3}Sh . בפרט הנפח של חרוט עיגולי שלבסיסו רדיוס r הוא 1/3 מנפחו של גליל בעל אותם ממדים, כלומר \ V = \tfrac{\pi}{3} r^2 h.

שטח פניו של חרוט עיגולי הוא \ A = \pi r (r + s) , כאשר s = \sqrt{r^2 + h^2} הוא "גובה השיפוע" של החרוט (לפי משפט פיתגורס). הביטוי הראשון בנוסחת השטח,  \pi r^2, הוא שטח בסיסו, והביטוי השני \pi r s, הוא שטח פני הצד. פני שטחו = שטח הבסיס + שטח הצד.

דוגמא
נתון חרוט ישר שרדיוס בסיסו 5 = r ס"מ וגובהו 8 = h ס"מ. חשב את שטח בסיסו, גובה השיפוע, שטח פני הצד, שטח פניו ונפחו.

פתרון

שטח בסיס החרוט הוא שטח עיגול שרדיוסו r = 5 ס"מ, לכן:
שטח בסיס החרוט הוא 78.5 סמ"ר

גובה השיפוע s של חרוט ישר הוא אורך הקטע היוצא מקודוקד החרוט אל המעגל המקיף בסיסו וגודלו:
s = \sqrt{r^2 + h^2} כאשר r הוא רדיוס בסיס החרוט ו- h גובה החרוט.

גובה השיפוע של החרוט הוא 9.43 ס"מ.

 שטח פני הצד ST של החרוט הוא שטח המעטפת (ללא שטח הבסיס העגול) ושווה ל:
כאשר r רדיוס בסיס החרוט ו- s גובה השיפוע:  
שטח פני צד החרוט הוא 148.05 סמ"ר.

שטח פני החרוט הוא סכום שטח הבסיס ושטח פני הצד:  פני שטחו = שטח הבסיס + שטח הצד
 פני שטחו = 78.5 + 148.05 = 226.55 סמ"ר

נפח החרוט הישר נתון בנוסחה: \ V = \tfrac{\pi}{3} r^2 h  (שטח בסיס החרוט כפול גובהו לחלק לשלוש)

לכן:

נפחהחרוט הוא 209.33 סמ"ק

פירמידה- בסיס, קודקוד, מקצוע צדדי, מקצוע בסיס, גובה ונפח

פירמידה- בסיס, קודקוד, מקצוע צדדי, מקצוע בסיס, גובה ונפח

פירמידה היא פאון תלת-ממדי המורכב ממצולע שנקרא בסיס הפירמידה, מנקודה מחוץ למישור של המצולע שנקראת קודקוד הפירמידה, ומכל הקטעים המחברים בין הקודקוד לבין הקודקודים של מצולע הבסיס. באופן שקול, פירמידה מורכבת מפאת הבסיס שהיא מצולע כלשהו, מקודקוד מחוץ למישור הבסיס, ומפאות משולשיות שהן כל המשולשים המוגדרים על ידי שני קודקודים סמוכים במצולע הבסיס ביחד עם קודקוד הפירמידה.
מספר הצלעות של מצולע הבסיס מעניק לפירמידה את שמה, ובהתאם לכך יש פירמידה משולשת, פירמידה מרובעת וכו'. פירמידה משולשת משוכללת (כלומר כזו עם ארבע פאות שהן משולשים חופפים ושווי צלעות), קרויה גם טטרהדרון (בעברית: "ארבעון"), וזהו אחד מחמשת הפאונים המשוכללים.
כל אחד מהקטעים המחברים את קודקוד הפירמידה עם אחד מקודקודי הבסיס נקרא מקצוע צדדי. צלע הבסיס נקראת מקצוע בסיס.

גובה הפירמידה ( h בסקיצה) הוא הקטע היורד מקודקוד הפירמידה אל מישור הבסיס וניצב למישור הבסיס.

יש המכנים פירמידה שבה כל המקצועות הצדדיים שווים באורכם פירמידה ישרה. באופן שקול, פירמידה ישרה היא פירמידה שבה כל הפאות המשולשיות (פרט, אולי, לבסיס) הן שוות-שוקיים כאשר השוקיים השוות הן המקצועות הצדיים. בפרט, בפירמידה ישרה כל קודקודי הבסיס נמצאים על אותו מעגל (תנאי הכרחי זה תמיד מתקיים בפירמידה משולשת, אך החל בפירמידה מרובעת הוא לאו דווקא מתקיים), והגובה יורד אל מרכז המעגל החוסם את הבסיס.
נפח הפירמידה (בדומה לנפח החרוט) שווה לשטח הבסיס כפול הגובה חלקי 3, כלומר שליש מנפח מנסרה בעלת אותו בסיס ואותו גובה

נפח פירמידה:  ({V} = \frac{S \cdot h}{3}).

כאשר :
h  – גובה הפירמידה
S – שטח בסיס הפירמידה

דוגמא
נתונה פירמידה שבסיסה ריבוע שצלעו (מקצוע הבסיס) 4 ס"מ. גובה הפירמידה 7 ס"מ.
חשב את שטח בסיס הפירמידה ואת נפחה.

פתרון

בסיס הפירמידה הוא ריבוע שצלעו 4 ס"מ, לכן שטח הבסיס הוא S = 4 * 4 = 16 .
שטח הבסיס הוא 16 סמ"ר.

נפח הפירמידה הוא מכפלת שטח בסיסה בגובהה לחלק לשלש, לכן נפחה V:
V = 16 *7 / 3 = 37.33
נפח הפירמידה הוא 37.33 סמ"ק.

כדור – נפח ושטח פנים

כדור - נפח ושטח פנים
כדור – נפח ושטח פנים

שטח הפנים של כדור בעל רדיוס R הוא: .

הנפח של כדור בעל רדיוס R הוא:         .

דוגמא:
חשב נפח ושטח פני כדור שרדיוסו  ס"מ R = 2.

פתרון
נפח הכדור נתון בנוסחה: 
 

ולכן הנפח:

23*4*3.14/3 = 8*4*3.14/3=33.49333 סמ"ק 

שטח פני הכדור נתון בנוסחה:

ולכן
A = 4*3.14*22
  סמ"ר  A = 50.24

גליל – נפח, בסיסים, שטח פנים ומעטפת

גליל שגובהו h ורדיוס בסיסו r גליל הוא משטח הנוצר מכל הנקודות הנמצאות במרחק קבוע מישר כלשהו הנקרא ציר הגליל. הגוף שאותו תוחמים משטח זה ושני בסיסים חופפים, מקבילים זה לזה ומאונכים לציר הגליל נקרא גם הוא גליל. ניתן לראות בגליל גם גוף סיבוב של מלבן. הגליל הוא משטח ישרים משום שבכל נקודה על גביו ניתן להעביר קו שישכון על המשטח.

בגאומטריה,בסיסיו של הגליל הם עיגולים ונפח הגליל הוא שטח הבסיס כפול הגובה.

תכונותיו של גליל שרדיוסו \ r וגובהו \ h, הן

  • נפחו הוא: V =\!\ \pi r^2 h
  • שטח פנים הוא: A =\!\ 2 \pi r (r+h).
  • שטח פני המעטפת (לא כולל שני הבסיסים) הוא S=\!\ 2 \pi r h

דוגמא פתורה:

שאלה
נתון גליל שרדיוס בסיסיו הוא 5 וגובהו 8. חשב את שטח בסיסיו, נפחו, שטח פניו, ושטח המעטפת:

פתרון
נתון רדיוס בסיס r =  5 וגובה   h=8  – המידות בס"מ
בסיס הגליל הוא עיגול לכן שטח הבסיס = 
שטח הבסיס הוא 78.5 סמ"ר.

נפח הגליל V הוא שטח הבסיס כפול הגובה h לכן 
 נפח הגליל הוא 628 סמ"ק

שטח מעטפת הגליל נתון בנוסחה:

 לכן שטח המעטפת:
שטח המעטפת 251.2 סמ"ר

שטח פני הגליל הוא סכום שטחי שני בסיסיו ושטח המעטפת: 
שטח פני הגליל הוא 408.2 סמ"ר

קוביה – נפח, מעטפת, ושטח פנים

קוביה
הקובייה היא תיבה שכל פאותיה הן ריבועים. לקובייה 6 פאות שכולן ריבועים חופפים. הקובייה היא גוף משוכלל.
קובייה: קובייה היא גוף שכל ממדיה שווים – אורך, רוחב וגובה.

פאת הקוביה – דפנות הקוביה
פני הקוביה – הפאות יחד עם הבסיסים.
מעטפת הקוביה – שטח כל פאות הגוף  בלי הבסיסים
 נניח קוביה שאורך כל אחד מצלעותיה הוא a .
אזי: 
נפח הקוביה:

שטח המעטפת:

שטח הפנים:

דוגמא:
נתונה קוביה שאורך צלעה a = 3 (המידות בס"מ)
חשב את נפחה, שטח המעטפת ושטח הפנים.

פתרון:

נפח הקוביה נתון בנוסחה       V = a3
לכן נפח הקוביה   V = 33= 27
נפח הקוביה 27 סמ"ק
מעטפת הקוביה נתונה בנוסחה       S = 4a2
לכן מעטפת הקוביה   S = 4*32= 36
מעטפת הקוביה 36 סמ"ר
שטח פני הקוביה נתון בנוסחה       T = 6a2
לכן שטח פני הקוביה   T = 6*32= 54
שטח פני הקוביה 54 סמ"ר  

דוגמא נוספת 

נתונה קוביה ששטח פאה שלה הוא 16 סמ"ר, חשב נפחה.
פתרון

נסמן באות a את צלע הקוביה.
שטח פאה הוא שטח דופן אחת כלומר ריבוע הצלע, לכן אורך צלע הקוביה a הוא שורש של 16 כלומר 4 ס"מ.
 ס"מ a = 4

נפח קוביה שצלעה a נתון בנוסחה       V = a3
לכן נפח הקוביה   V = 43= 64
נפח הקוביה 64 סמ"ק

דמיון משולשים – מושגים והגדרות, משפטי יסוד, ותרגילים פתורים

דמיון משולשים – מושגים והגדרות, משפטי יסוד, ותרגילים פתורים

דמיון משולשים - מושגים והגדרות

משפטי דמיון יסודיים

משפט דמיון ראשון : צ.ז.צ.
אם שתי צלעות במשולש אחד , פורפורציוניות לשתי צלעות במשולש אחר, והזוויות הכלואות ביניהן שוות – המשולשים דומים.

משפט דמיון שני : ז.ז.ז.
אם שתי זוויות במשולש אחד , שוות לשתי זוויות במשולש שני – המשולשים דומים

משפט דמיון שלישי : צ.צ.צ.
אם שלוש צלעות של משולש אחד , פורפורציוניות בהתאמה , לשלוש הצלעות של משולש אחר,- המשולשים דומים

משפט דמיון רביעי: צ.צ.ז. ( לא נלמד בדרך כלל )
אם שתי צלעות במשולש אחד , פורפורציוניות לשתי צלעות במשולש אחר, והזוויות המונחות מול הצלע הגדולה ( מבין השתיים ), בכל משולש, שוות זו לזו – המשולשים דומים

דמיון משולשים – תרגילים פתורים בסיסיים

דמיון משולשים - תרגילים פתורים
 דמיון משולשים - תרגילים פתורים

קישורים – הוכחת משפטים בדמיון משולשים:

שטחים של משולשים דומים מתייחסים זה לזה כריבוע היחס שבין הצלעות המתאימות

גבהים מתאימים במשולשים דומים מתייחסים זה לזה כיחס הצלעות המתאימות

חוצי זוויות מתאימות במשולשים דומים מתייחסים זה לזה כמו יחס הצלעות המתאימות

תיכונים מתאימים במשולשים דומים מתייחסים זה לזה כיחס הצלעות המתאימות.

הוכחת משפט בגיאומטריה: אם שני ישרים מקבילים נחתכים על-ידי ישר שלישי, אזי כל שתי זוויות פנימיות מתחלפות הן זהות.

 הוכח את המשפט: אם שני ישרים מקבילים נחתכים על-ידי ישר שלישי, אזי כל שתי זוויות פנימיות מתחלפות הן זהות.
 מוכיחים עבור זוג זויות פנימיות מתחלפות אחד, שאר השיוויונות ניתנים להוכחה בדרך דומה.

 נתון: שני ישרים מקבילים: CD||EF , ישר AP חותך את המקבילים בנקודות O, P

צ"ל:    COP = OPF

אם שני ישרים מקבילים נחתכים על-ידי ישר שלישי, אזי כל שתי זוויות פנימיות מתחלפות הן זהות.
הוכחה:

טענה # נימוק
COP+DOP = 180º (1) סכום שתי זוויות סמוכות הוא 180º
OPF+DOP = 180º (2) סכום שתי זוויות פנימיות וחד-צדדיות בישרים מקבילים
COP+DOP = OPF+DOP (3) שני גדלים השווים לגודל שלישי שווים ביניהם, טענות 1 ו- 2
COP = OPF (4) חישוב מטענה

הוכחת משפט בגיאומטריה: סכום הזוויות הפנימיות במרובע הוא 360 מעלות

נתון: מרובע ABCD

צ"ל: סכום הזוויות במרובע הוא 360 מעלות

הוכחת משפט בגיאומטריה: סכום זוויות במרובע הוא 360 מעלות
במרובע שני משולשים שסכום זוויות כל אחד מהם הוא 180 מעלות, זוויות המשולשים הן זוויות המרובע

הוכחה:

ב.ע: נמתח אלכסון BD ונקבל שהמרובע מורכב משני משולשים.

ידוע שסכום זוויות בכול משולש הוא 180 מעלות.

נשים לב שהזוויות הפנימיות של שני המשולשים יחדיו הן בדיוק הזוויות הפנימיות של המרובע.

לכן, משום שיש במרובע שני משולשים, אז סכום הזוויות בו שווה ל-:

2*180 שזה בדיוק 360

הוכחת משפט בגיאומטריה: אם שני ישרים מקבילים נחתכים על-ידי ישר שלישי, אזי כל שתי זוויות מתאימות הן זהות

משפט: אם שני ישרים מקבילים נחתכים על-ידי ישר שלישי, אזי כל שתי זוויות מתאימות הן זהות

נתון: שני ישרים מקבילים: CD||EF , ישר AP חותך את המקבילים בנקודות O, P

צ"ל:    AOD = OPF

אם שני ישרים מקבילים נחתכים על-ידי ישר שלישי, אזי כל שתי זוויות מתאימות הן זהות

טענה נימוק
AOD+DOP = 180º (1) סכום שתי זוויות צמודות הוא 180º
∡OPF+DOP = 180º (2) סכום שתי זוויות פנימיות וחד-צדדיות בישרים מקבילים
AOD+DOP = OPF+DOP (3) שני גדלים השווים לגודל שלישי שווים ביניהם, טענות 1 ו- 2
AOD = OPF (4) חישוב מטענה

הוכחת המשפט בגיאומטריה: אם צלע אחת גדולה מצלע שנייה אז הזווית שמול הצלע הקטנה, קטנה מהזווית שמול הצלע הגדולה

הוכחת המשפט בגיאומטריה: אם צלע אחת גדולה מצלע שנייה אז הזווית שמול הצלע הקטנה, קטנה מהזווית שמול הצלע הגדולה

נתון משולש ABC   שבו  AC > AB
צ"ל:    C < B
אם צלע אחת גדולה מצלע שנייה אז הזווית שמול הצלע הקטנה, קטנה מהזווית שמול הצלע הגדולה
הוכחה:
בונים בניית עזר את הקטע BD  כך שנקודה D  על הצלע AC
 ו- AB = AD
נתבונן במשולש ABD:  AB = AD – נתון מבניית עזר
D1∡ = B1 – במשולש ABD מול צלעות שוות זוויות שוות    [1]
C∡ < 1Dזוית חיצונית למשולש BDC  גדולה מזוויות המשולש שאינן צמודות לה.  [2]
מכאן נובע:  C∡ < B1  – נובע מ- [1] ו- [2]
B1∡ < B – השלם גדול מחלקו
לכן : C < B מ.ש.ל